Mint Article


การดิฟ การอินทิเกรต และฟูเรีย

ต้นกำเนิดของแคลคูลัส
เชิงปริพันธ์ย้อนไปถึงยุคกรีกโบราณ ยูโดซัส มักจะเป็นที่รู้จักกันในนามของผู้ที่ค้นพบ วิธีการแจงกรณี ซึ่งทำให้สามารถคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรได้ อาร์คิมิดีส ได้พัฒนาวิธีการนี้ต่อ และได้พัฒนาวิธีการช่วยคำนวณ ซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในปัจจุบันด้วย ไลบ์นิซ และ นิวตัน มักจะได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่คิดค้นแคลคูลัสขึ้นมา โดยเฉพาะการค้นพบทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีการโต้เถียงกันว่านิวตันหรือไลบ์นิซ ที่เป็นผู้ที่ค้นพบแนวคิดหลักของแคลคูลัสก่อน ความจริงนั้นไม่มีใครรู้ได้ สิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ที่ไลบ์นิซได้พัฒนาให้กับแคลคูลัส คือ เครื่องหมายของเขา เขามักจะใช้เวลาเป็นวัน ๆ นั่งคิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมาะสม ที่จะแทนที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์

ผู้ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้พัฒนาวิชาแคลคูลัสนอกจากนี้คือ เดส์การตส์, Barrow, เดอ แฟร์มาต์, ฮอยเก้นส์ และ วอลลิส โดยเฉพาะ .........เดอ แฟร์มาต์........ ซึ่งบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็น บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โควะ เซกิ ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตัน ได้ค้นพบหลักการพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่เขาไม่เป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในขณะนั้น และเขาก็ไม่ได้ติดต่อกับนักวิชาการชาวตะวันตกเลย










อินทิเกรตและดิฟเฟอเรนชิเอต


เป็นแนวคิดที่เกิดจากแนวคิดพื้นฐานง่ายๆ
แล้วประยุกต์มันด้วยขบวนการอนันต์ครับ

สมมุตินะครับว่าเราต้องการหาพื้นที่ของ
รูปทรงที่มันไม่เป็นเรขาคณิต

คนสมัยโบราณที่เค้ายังไม่มีแคลคูลัสใช้เค้าทำไงครับ
เค้าก็คิดว่าเองั้นเราแบ่งพื้นที่นี้ออกเป็นชิ้นส่วนย่อยๆ
ที่เราสามารคำนวณได้รู้ค่าแน่นอนดีไหมน่ะ

ผลก็คือเมื่อทำการแบ่งพื้นที่ออกมาเป็นสี่เหลี่ยมแล้ว
คำนวณหาพื้นที่สี่เหลี่ยมนั้นๆ แล้วเอาพื้นที่ทั้งหมดมารวมกันเหมือนเดิม ก็จะได้คำตอบ

แต่ว่า...

คำตอบที่ว่านั่นคือค่าประมาณ เค้าก็ทำการคิดแก้ปัญหาต่อไป โดยการแบ่งพื้นที่ให้ละเอียดมากขึ้น เค้าก็ค้นพบว่าค่าที่ได้ จะใกล้เคียงความเป็นจริงมากขึ้น ได้ดั่งนั้นนักฟิสิกส์จึงบอกว่า เอาละ ในทางการฟิสิกส์แล้วเราต้องการความละเอียดระดับหนึ่งเท่านั้น ค่าผิดผลาดที่ได้จากการวัดของวิธีนี้ หาเราแบ่งสี่เหลี่ยมให้เล็กพอ นักฟิสิกส์สามารถยอมรับได้ นักเคมีกล่าวว่าในขบวนการทางเคมีนั้นมีค่าผิดผลาดเป็นเรื่องปกติอยู๋แล้วธรรมดามาก เราแค่ควบคุมให้อยู่ในระดับที่ยอมรับได้ มาถึงคิวนักคณิตศาสตร์นักคณิตศาสตร์คิดหนักเพราะถึงแม้จะแบ่งพื้นที่ให้ละเอียด เป็นพันชิ้น เป็นหมื่นชิ้น มันก็ยังให้ออกมาเป็นเพียงค่าที่ประมาณเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ไม่พอใจเป็นอย่างมาก เนือ่งด้วยโลกของคณิตศาสตร์นั้นไม่ยอมรับว่า

0.0000000000000000000000001 = 0.0000000000000000000000002

นักคณิตศาสตร์ไม่รู้จะทำอย่างไร หันซ้ายหันขวาไปเจอลิมิตเข้า ก็ปิ้งไอเดียทันที นักคณิตศาสตร์จึงกล่าวขึ้นมาว่า ถ้าเราแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ ขนาด x โดยที่ x มีค่าเข้าใกล้ 0 และเมือ่เราทำการคำนวณหาพื้นที่ทั้งหมดมารวมกัน ด้วยกฏของลิมิตที่นิยามไว้ดีแล้ว จะทำให้เราได้ค่าพื้นที่ปิดล้อมนั้น แบบไม่ใช่ค่าประมาณ!

นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มเขียนการอินทิเกรตในยุกแรกๆด้วย
ลิมิตของผลรวม ก็คือมีเครื่องหมาย ซิกม่าแล้วก็มีลิมิต ใช้ๆไปใช้มานักคณิตศาสตรืบอกว่ายุ่งยาก คิดใหม่ดีกว่า ให้เป็น S ย่อมาจาก Summation อะเด๊ยวก่อนยืดมันสักหน่อยดีกว่า จะได้รู้ว่าเป็นอินทิเกรต เราจะได้สัญลักษณ์ Lazy S มาใช้กัน

ดิฟเฟอเรนชิดเอตก็เกิดขึ้นจากแนวคิดที่ใกล้เคียงกัน
นักฟิสิกส์รู้ว่าความเร็วคือระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ต่อ 1 ช่วงเวลา ดังนั้นสูตรเด็กๆก็คือ v = s/t

ต่อมานักฟิสิกส์ว่างงานมานั่งคิดว่าเอ๊ะความเร็ซที่เราได้นั้นมันเป็นความเร็วเฉลี่ยนี่น่า เช่น เราเดินทางได้ 10 เมตร ใน 1 วินาที เราก็เอา 10 / 1 = 10 m/s ได้เป็นความเร็ว แต่เราไม่รู้ว่าความเร็วที่จุด 0.1s มีค่าเท่าไร ความเร็วที่จุด 0.0001s มีค่าเท่าไร นักฟิสิกส์คิดไม่ตกจึงไปถามนักคณิตศาสตร์เจ้าเก่า นักคณิตศาสตร์บอกหมูมากลื้อก็ใส่ขบวนการอนันต์เข้าไปสิ นักฟิสิกส์ร้องอ๋อทันที รีบจัดแจงกลับมาเปลี่ยนสูตรตัวเองใหม่ ให้ความเร็วที่จุดใดๆเท่ากับเดลต้าระยะทางที่จุดใดๆหารเดลต้าเวลาที่จุดใดๆ โดยสมมติเดลต้าที่ว่าเป็นตัวแปรแล้วให้มันมีค่าน้อยๆ ยิ่งน้อยยิ่งดี ยิ่งน้อยยิ่งชอบสะใจ! นั่นคือดิฟเฟอเรนชิเอต เป็นที่มาว่าทำไมน้องๆหนูๆต้องมานั่งท่องว่าดิฟ s ได้ v

ฟูเรียร์

ใช้แทนสัญญาณ ข้อมูลที่มีลักษณะ ขึ้นกับเวลา เช่น กระแสไฟฟ้าสลับ เขียนเป็นสมการ I = Io*cos(wt)

ดิฟ ใช้แทนอัตราส่วนของปริมาณ ชนิดหนึ่ง ต่อเวลา ที่สั้นมาก ๆ เช่น ความเร็ว ระหว่างเวลา t และ t + dt = ระยะทาง(ds) / เวลา(dt)

หรือ   v = ds / dt,   ds คือระยะทางที่ได้ในช่วงเวลา dt

อินทริเกต  
เราสามารถหาระยะทาง(s) ที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ระหว่างเวลา t1 ถึง t2  ได้จาก การอินทริเกต

ds = v*dt

ระหว่างเวลา t1 ถึง t2,       ดังนั้น   s = v (t2 - t1)


http://guru.google.co.th/guru/thread?tid=425942f30c7fd3ea






Content's Picture

Size : 2.80 KBs
Upload : 2011-01-08 00:06:17

Size : 23.80 KBs
Upload : 2011-01-09 00:40:23
Comment(s)

Current Page(s) 1/0
<<
1
>>

Vote this Content ?

1
Vote(s)
Create by :


Mint
Detail
Status : ผู้ใช้ทั่วไป
อิเล็กทรอนิกส์


TATC KM2011 | วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ
กม.160 193 หมู่ 3 ต.นาจอมเทียน อ.สัตหีบ จ.ชลบุรี 20250

Development
Generated 0.584496 sec.